Pengertian Parabola

Sebelum kita mempelajari tentang persamaan parabola, kita bahas terlebih dahulu pengertian dari parabola itu sendiri, parabola adalah tempat kedudukan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu. Selanjunya titik itu disebut titik fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis arah atau direktriks.

Persamaan Sederhana Parabola

Gambar 1.1

Titik F dan garis g berturut-turut merupakan fokus dan direktriks parabola. Apabila titik A terletak pada parabola, maka | FA | = | AB |. Garis DF tegak lurus garis g . Dalam hal ini, garis DF merupakan sumbu simetri parabola. Dengan demikian, karena A merupakan titik pada parabola maka A’ juga terletak pada parabola. Titik P merupakan titik potong sumbu simetri dengan parabola dan disebut titik puncak parabola. Garis yang sejajar direktriks g dan melalui titik fokus memotong parabola di titik L dan L’. LL’ seringkali disebut dengan latus rektrum. Panjang latus rektum
| LL’| = 2| FL | = 2| LC | = 4| FP |

Gambar 1.2

Perhatikan gambar 1.2, kita pilih titik fokus F ( p,0 ) dan puncak parabola adalah O (0,0). Sehubungan dengan hal ini, maka titik berkoordinat (-p,0). Dengan demikian, direktriksnya mempunyai persamaan x = -p atau x + p = 0. Apabila S adalah parabola dan A(x,y) adalah sembarang anggota S , maka kita dapatkan :

Persamaan sederhana parabola : y2 = 4px
Itu untuk parabola bertitik pusat (0,0) yang terbuka kekanan seperti gambar 1.2 dengan sumbu simetri parabola di sumbu x

Gunakan cara yang sama untuk menentukan persamaan sederhana parabola yang mempunyai sumbu simetri di sumbu y, maka kita dapatkan :

Persamaan sederhana parabola : x2 = 4py
Itu untuk parabola bertitik pusat (0,0) yang terbuka keatas dengan sumbu simetri parabola di sumbu y

Kita bisa gunakan ilustrasi persamaan diatas untuk menentukan persamaan parabola yang bertitik pusat di (0,0) yang terbuka kekiri, keatas, dan kebawah. Hasilnya bisa kita lihat pada tabel dibawah ini

Dengan demikian, parabola mempunyai persamaan. Persamaan ini disebut persamaan kanonik parabola, dan merupakan bentuk persamaan parabola yang paling sederhana. Sehubungan dengan uraian di atas, dapat kita katakan bahwa :

y2 = 4px adalah persamaan parabola dengan :
Titik puncak (0,0)
Titik fokus (p,0)
Sumbu x (garis dengan persamaan y = 0) sebagai sumbu simetri
Persamaan direktriks x = -p atau x + p = 0, dan
Panjang latus rektum = 4|p|.

x2 = 4py adalah persamaan parabola dengan :
Titik puncak (0,0)
Titik fokus (0,p)
Sumbu y (garis dengan persamaan x = 0) sebagai sumbu simetri
Persamaan direktriks y = -p atau y + p = 0, dan
Panjang latus rektum = 4|p|.


Contoh soal :
Carilah persamaan parabola yang berpuncak di O (0,0) dan mempunyai fokus :
(2,0)
(-4,0)
Untuk masing-masing parabola, carilah panjang laktus rektum dan persamaan direktriksnya.
Penyelesaian :

Gambar 1.3

Perhatikan gambar 1.3
Sesuai dengan uraian sebelumnya, persamaan parabola yang berpuncak di (0,0) dan mempunyai fokus (p,0) adalah y2 = 4px, maka persamaan parabola yang berpuncak di O (0,0) dan berfokus di (2,0) adalah :
y2 = 4(2)x
y2 = 8x
Panjang latus rektum = 4|p| = 4 x 2 = 8
Persamaan direktriks : x = -p -> x = -2

Fokus (-4,0), maka p = -4.
Persamaan parabola :
y2 = 4px
y2 = 4(-4)x
y2 = -16x
Panjang latus rektum = 4|p| = 4|-4| = 16
Persamaan direktriks :
  x = -p
->  x = -(-4)
->  x = 4